viernes, enero 26, 2007

Mitología matemática

Hola de nuevo, amigos mitopeces:

Como algunos de ustedes ya sabrán, servidor se dedica al campo de las matemáticas, que no es el campo de los números, como algunos podrían pensar. Había pensado en realizar una serie de artículos sobre cómo las matemáticas se acercan a cualquier faceta de la vida de un modo, a menudo, sorprendentemente eficaz. Antes de nada, realizaremos algunas explicaciones a modo de introducción, que trataré de hacer lo más accesibles que pueda para el común de los mortales.

Lo primero que uno debe tener claro cuando lea o interprete alguna clase de texto que haga uso de las matemáticas de un modo u otro, es que el objetivo de las matemáticas no es hallar la solución numérica de un problema dado. Entiéndanme: lo es en última instancia, pero siempre a través de otras disciplinas (física, química, biología, astronomía, economía, etc.) que precisamente hacen uso de las matemáticas para su desarrollo. El objetivo de las matemáticas es modelizar. Ésto es, hallar un modo de describir en un lenguaje universal que todos entendemos por acuerdo un fenómeno o ley natural del Universo. Esto se realiza a través de las distintas ramas de las matemáticas con la particularidad de que éstas se basan, simple y llanamente, en la lógica formal de sentencias. Esto conellva la ventaja de que si algo es verdad matemática, entonces es "verdad de la buena". En contrapartida, requiere una rigurosidad y una exactitud en el lenguaje a la hora de transmitir las ideas y los conceptos que en ocasiones pueden llegar a ser extremadamente tediosas, incluso para los apasionados, entre los que me incluyo. Podemos decir, pues, que las matemáticas son relaciones lógicas entre símbolos. O, más cercanamente, un lenguaje. Volviendo al tema del propósito de modelizar que tienen las matemáticas, es preciso explicar qué es un modelo matemático. Un modelo viene a ser una serie de definiciones, proposiciones, teoremas y toda clase de relaciones que se enuncian en abstracto y que, más tarde (y cuando digo más tarde, quiero decir mucho más tarde), se traducen en hechos apreciables de la cotidianidad. A menudo, el proceso ha sido inverso, y el hecho de precisar de un modelo de algo que conocemos de la vida real a dado pie a una abstracción mucho más amplia y general, de la cual la idea inicial resulta ser un caso particular. Vamos a poner un ejemplo, que nos servirá para ilustrar ambos casos:

Todo el mundo entiende más o menos que vivimos en una clase de mundo tridimensional con sus ángulos rectos, sus segmentos y sus distancias métricas bien sencillas de entender y manejar. Resulta pues que ese universo tridimensional no es más que un caso particular de lo que en matemáticas llamamos espacio afín. Un espacio afín es un conjunto formado por puntos que delimitan vectores. Los espacios afines tienen dimensión, que puede ser finita o infinita. Una dimensión, para entendernos, es un "sentido de medida". Nuestro mundo tiene tres porqué medimos anchura, altura y profundidad. Y poca cosa más puede uno decir de un espacio afín más allá de que los puntos definen rectas y planos que tienen posiciones relativas entre ellos (paralelismo o no paralelismo). Cuando en un espacio afín definimos una distancia, entonces el espacio afín es, además, un espacio métrico. En nuestro mundo, la distancia definida es la distancia métrica, que coincide con la norma (palabro que nosotros entenderemos por "tamaño") de los vectores que representan los segmentos que medimos con nuestras reglas y otros instrumentos de medición. Sin embargo, pueden definirse toda clase de distancias distintas siempre y cuando cumplan una serie de requisitos. Finalmente, una distancia va asociada a lo que llamamos un producto escalar, que es lo que da sentido a los ángulos y nos permite hablar de perpendicularidad. Un espacio afín con un producto escalar y un métrica (modo en el que se miden las cosas) se llama un espacio afín euclídeo. En nuestro mundo real, las rectas que forman un ángulo de 90 grados decimos que son perpendiculares; pero del mismo modo en que ocurría con las distancias, podemos definir una cantidad ilimitada de productos escalares distintos en los que la perpendicularidad no sería como la conocemos, siempre y cuando, una vez más, cumplieran una serie de requisitos.

Así pues, de la multitud de conjuntos que se pueden definir en abstracto, el universo real es (mientras no se diga lo contrario) un caso particularmente óptimo: un espacio afín euclídeo de tres dimensiones en el que el producto escalar es trivial (es decir, no requiere de ningún cálculo extra como sería lo habitual) y las distancias son lineales (se pueden sumar y multiplicar por unidades sin más dolores de cabeza).

Éste era un ejemplo clásico de modelo matemático de algo. En este caso, la necesidad práctica ha dado paso a la teoría abstracta, pero en la actualidad existen multitud de modelos abstractos de los cuales aún no se ha hallado (y quizás no se halle jamás) una interpretación en el universo real.

Mi propósito en las subisguientes entradas de este blog es tratar de usar otras clases de conjuntos para mostrar que, incluso lo más inusitadamente alejado de las ciencias o las matemáticas, se puede explicar en términos similares a los anteriores. Para eso echaremos mano del maravilloso mundo de la topología, recientemente descubierto por un servidor y que, personalmente, me merece el calificativo de "las matemáticas de verdad". Topología significa "estudio de los lugares", pero en un modo en el que la palabra "lugar" nunca había tenido tantas acepciones. La topología es la herramienta matemática que de verdad nos permite crear nuestra mitología. Estén atentos a las próximas fechas.

Un cordial saludo a todos.

4 Comments:

Blogger Arturo said...

Esperemos que te animes a poner más entradas tan claras como esta para los profanos en el mundo de las matemáticas, entre los cuales me incluyo el primero :-)

Un saludo.

1:50 p. m.  
Blogger Tania said...

Tania dijo

Nunca me había quedado tan claro. Felicitaciones por éste sitio tan bonito y útil!!

3:59 a. m.  
Anonymous Anónimo said...

NO Les EnTiEnDo Ni mAS Ni MeNoS Por qUe yO BuScO Su HiStOrIa y no La PuEdO EnCoNtRaR.
BYE QuE Se lA pAsEn bIeN.

9:41 p. m.  
Anonymous Anónimo said...

uuuuui sabi te entiendu un monton esta super bkn esto, aunq a mi me fascina toda la matematica pero da igual.

5:46 p. m.  

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