¿Y si el Universo fuese una Botella de Klein?

Hola mitopeces:

Tras muchos meses sin postear hoy decido volver con una idea que se me ocurrió ayer mientras presenciaba el recomendadísimo espectáculo Fiestaventura que se lleva a cabo todas las noches en el parque temático Port Aventura. Antes de empezar, quiero decir a los que se quejan de que no actualizo, que un blog sólo tiene sentido si hay gente visitándolo y dejando comentarios o reflexiones, así que ya estáis hablando de este a todos vuestros ciberconocidos.

Vaya por delante que esto que voy a contar no tiene ninguna clase de rigor científico, y que todo el pensamiento se basa en la idea, probablemente distorsionada, que yo aún tengo de la astrofísica. Sin embargo, si alguien cree que la idea es razonable y desea profundizar en el tema, a mí me parece bien. Dicho esto, empezamos con la historia.

Como algunos saben, y los que no que sigan el enlace, la Botella de Klein es un sólido, o más bien una variedad diferenciable, encajada en nuestro espacio tridimensional (probablemente se halle en lo que en topología llamamos S³, la 3-variedad análoga a la esfera) no orientable. Es decir, que su característica más llamativa es que sólo tiene "una cara". Aunque es un poco difícil de imaginar, esto se puede ver recorriendo con un lápiz toda la superfície desde un punto y viendo que se retorna al mismo punto sin alzar el lápiz, tal y como ocurría con la Cinta de Möbius en dos dimensiones.

Una vez sabemos qué es una Botella de Klein, situémonos en la Ecuación de Campo de Einstein. Simplificando mucho las cosas, la Ecuación de Einstein predice cómo es un universo según la Relatividad Especial, y admite diversas soluciones, siendo muchas de ellas fuente de discusión entre físicos y matemáticos. Una de las soluciones es el llamado Universo de Gödel. El Universo de Gödel es un universo en el que la líneas temporales son cerradas. Ésto es que el tiempo es cíclico y que todo suceso (o más bien proceso) vuelve siempre al mismo punto (o estado incial), de modo que el pasado no se puede distinguir del futuro.

Bajo esta premisa, me preguntaba yo si podría ser el nuestro un universo de Gödel. Naturalmente, no podríamos saberlo porque, por mucho que el tiempo regresara siempre al mismo lugar, nosotros sólo presenciaríamos un pequeño lapso del mismo. Es decir, si imaginamos la línea temporal como una circunferencia, nosotros sólo recorremos un pequeño arco. Para hacerse una idea, esta situación es análoga a la de los seres humanos cuando creían que la Tierra era plana. Como, de algún modo, éramos intrínseca ella -al no poder verla desde fuera- no podíamos saber si una línea en el suelo era una recta o era un arco de curva.

Asumiendo, pues, que el nuestro sea un universo de Gödel, es de esperar que todo el proceso inciado con el Big Bang regrese al propio Big Bang. Pero para que sea coherente, debe producirse en el mismo punto del espacio. Es decir, toda la materia parte de ese punto, recorre todo el Universo y regresa al mismo punto... siempre por la misma cara, claro, ya que de lo contrario la materia "saltaría" (si es que no lo hace, que podría ser que sí) de una cara a otra cara para poder regresar al punto incial, y nos parecería que desaparece de repente y reaparece en otro punto. Si esto es así, y la materia en principio no desaparece, entonces el Universo tiene que ser una Botella de Klein. ¿A que mola?

Opresión digital

Hola amigos:

Les invito a que se den una vuelta por el nuevo blog en el que servidor colabora: se trata de Opresión Digital y esta es su URL. Se trata de la versión renovada de El Pueblo Barcelonés y esperamos que les guste.

Por nuestra parte, pronto volveremos con más matemáticas y otras reflexiones.

Un saludo a todos.

Contando conjuntos infinitos

Hola mitopeces:

De momento dejo aparcado el tema de las rectas paralelas hasta que halle el modo preciso de contar la segunda parte de la historia y vamos a hablar hoy de cómo podemos clasificar los conjuntos de acuerdo a la cantidad de elementos que contienen. Este artículo se me ha ocurrido gracias al chico al que le doy clases particulares, Kike, a quien, tras explicarle que entre dos números enteros cualesquiera se hallan infinitos racionales (propiedad de arquimedianidad de los números racionales), y sabiendo que hay infinitos números enteros, él me preguntó -con mucho ingenio, he de confesar- si, del mismo modo, era posible que todos esos infinitos enteros estuviesen entre un cierto par de otra clase de números más importantes. Esto no es así, porque de serlo se violaría uno de los Axiomas de Peano (wiki), pero enseguida me di cuenta de que, para poder explicar la respuesta, primero hace falta entender que hay clases distintas de infinitos.

Distinguimos entre tres clases de conjuntos según su cantidad de elementos. Realmente, su clasificación técnica atiende a una teoría a la que con nuestros conocimientos no tenemos acceso (clasificación por álefs), así que los explicaremos de un modo menos sucinto pero más clarificador: conjuntos finitos, conjuntos infinitos numerables y conjuntos infinitos no numerables.

Los conjuntos finitos carcen de interés más allá de sus propiedades intrínsecas, y el modo de contarlos es el por todos conocido: a cada elemento le asignamos un número natural, comenzando desde el uno, y usando los siguientes, por orden, hasta que hayamos mencionado a todos los elementos del conjunto (y, aunque esto suene a perogrullada, es digno de mención).

Ejemplos: los conjuntos {1,2,3} y {5,7,9} tienen 3 elementos. El conjunto de posibles manos en una partida de póquer tiene 2.598.690 elementos.

Los conjuntos infinitos numerables son aquellos conjuntos que tienen infinitos elementos pero que, aún habiéndolos, se pueden poner en orden para poder contarlos. Los conjuntos numerables tienen la propiedad de que se puede establecer una biyección entre sus elementos y el conjunto de los números naturales. Una biyección es un sistema de correspondencias unívocas entre dos conjuntos; más cercanamente, estamos diciendo que si nuestro conjunto es numerable, a cada uno de sus elementos le corresponde un número natural, y sólo uno. El propio conjunto de los números naturales es, por definición, infinito numerable, pues trivialmente se puede establecer una biyección consigo mismo. Veamos un par de ejemplos más interesantes:

El conjunto de los números enteros es numerable. A simple vista pudiera parecer que hay el doble de números enteros que de naturales, pero esta suposición carece de sentido en un contexto infinito, puesto que 2·∞ = ∞. No obstante, es interesante observar cómo debe uno ordenar a los números enteros para asignarles su posición respecto de los naturales:

Si procedemos por tamaño: ... -3,-2,-1,0,1,2,3,... no vamos muy lejos, pues apenas disponemos de un primero que poner al frente de la lista. En cambio, si procedemos como sigue, en seguida se ve clara la relación: (entero -> natural que le hacemos corresponder)

0 -> 1, 1 -> 2, -1 -> 3, 2 -> 4, -2 -> 5, 3 -> 6, ...

Ésto no es nada más que poner a los positivos y a los negativos en filas de éste modo:

1, 2, 3, 4, 5, ...
-1, -2, -3, -4, -5, ...

Ambas filas son infinitas, pero las columnas no lo son, constando cada una de dos elementos nada más; de manera que podemos contar los enteros contando los elementos de cada columna de un modo ordenado.

Y así, si seguimos contando eternamente, nos damos cuenta de que hay tantos enteros como naturales, puesto que por muchos enteros que escribamos, siempre hallaremos un natural al que hacerle correspondencia.

Por si fuera poco sorprendente que los enteros sean numerables, resulta que los racionales también lo son. Como en el caso anterior, todo consiste en saber ordenarlos: primero, los escribiremos en forma de pareja de números, tal que así: (numerador, denominador). Luego, y para ahorrar tiempo y escritura, contaremos los positivos, entendiendo que repitiendo la argucia usada en los enteros se pueden incluir los negativos. Veámoslo:

(1,1) -> 1, (1,2) -> 2, (2,1) -> 3, (1,3) -> 4, (2,2) -> 5, (3,1) -> 6, (1,4) -> 7,...

Clarifiquémoslo con este esquema, distribuyéndolos de un modo bidimensional:

(1,1), (1,2), (1,3), ...
(2,1), (2,2), (2,3), ...
(3,1), (3,2), (3,3), ...
...

Como se ve, tanto la filas como las columnas son infinitas, y por ahí no podemos contar; pero, en cambio, las diagonales de arriba-derecha a abajo-izquierda son finitas, permitiéndonos ver que hay tantos racionales como naturales. Además, hay que recordar que algunos símbolos representan al mismo número (ej. (2,2) = (1,1); (1,2) = (2,4)) por lo que, sgún vamos contando, hay que descartar algunas parejas, dando más consistencia a la numerabilidad de los números racionales.

Finalmente, hablemos de los conjuntos infinitos no numerables. Los conjuntos no numerables (los denominamos así a secas, puesto que no numerable implica infinito) son aquellos cuyos elementos no pueden ser ordenados de modo alguno para poder establecer una biyección con los números naturales. Los números reales son un conjunto no numerable, puesto que la irrupción de los irracionales, con sus infinitas cifras decimales no periódicas, impiden colocarlos de algun modo que permita escribirlos todos sin dejarse algunos por en medio. Es curioso el hecho de que, puesto que los reales están constituidos por los racionales más los irracionales, y los racionales son numerables; resulte que haya una cantidad no numerable de números irracionales. De modo que, en realidad, hay más números, muchos más, irracionales que racionales, cuando uno podría pensar que se reparten equitativamente.

Y mucho más que eso: para los que sepáis un poco más, es fácil contar los irracionales algebraicos (que son aquéllos que son solución de alguna ecuación polinómica) colocándolos de un modo similar a los racionales, pero en tres dimensiones y escribiéndolos en coordenadas del modo (numerador, denominador, índice de la raíz). Si lo escriben en casa, verán que hay truplas finitas de números irracionales algebráicos, permitiendo contarlos. De tal modo que, realmente, los números que hacen no numerable al conjunto de los reales son los números trascendentes, aquéllos que, como PI ó e, no son solución de ninguna ecuación polinómica y que a todos nos traen de cabeza.

Y hasta aquí el tema de hoy. La idea con la que deberían quedarse, desde un punto de vista filosófico o, si lo prefieren, semántico, es que infinitos no quiere decir todos.

Un saludo.

Artículo sobre Fractales

Nuestros amigos de La Tienda de Ultramarinos han colgado este estupendo artículo sobre las fractales y su geometría. Yo mismo tenía pensado hablar de fractales más adelante, pero puesto que ya lo han hecho ellos, les invito a que se pasen.

Saludos, mitopeces.

Las rectas paralelas se cruzan en el infinito (I).

Hola amigos:

Bien, espero que estén preparados para las curiosidades matemáticas que me dispongo a exponerles. El otro día les hablé de un modelo que aparece por la necesidad práctica de describir el universo en el que vivimos. Durante esta y la siguiente entrada vamos a hablar de un modelo cuya interpretación real es mucho menos intuitiva, aunque una vez comprendida resulta lógica y evidente.

Primero vamos a comentar qué es UNA geometría (y observen el una en lugar de la). Una geometría es un sistema de elementos que cumplen una serie de axiomas. Un axioma se define como una verdad evidente que no precisa demostración formal. Por ejemplo, el enunciado todo número natural tiene un siguiente es un axioma. Los axiomas que introducen una geometría son de dos clases: los axiomas de incidencia, y los axiomas de congruencia. Ambos paquetes de axiomas se dividen en sus versiones para rectas y para ángulos. Puesto que estos axiomas escapan al comprender general, los pasaremos por alto e iremos construyendo las geometrías en orden cronológico.

Así pues, lo primero que hay que hacer es enunciar los Postulados de Euclides. Los Postulados de Euclides son cinco y muestran una serie de reglas que en teoría bastan para asegurar que estamos haciendo geometría. Dicen así:

1. Desde un punto cualquiera se puede trazar una recta a otro punto cualquiera.
2. Toda recta se puede prolongar indefinidamente.
3. Con un punto y una distancia (radio) se puede trazar un círculo.
4. Todos los ángulos rectos son iguales.
5. Dada una recta y un punto exterior a ella existe una única recta que pasa por el punto y es paralela a la primera.

La geometría usual cumple, efectivamente, estos postulados; y si quieren comprobarlo, agarren lápiz y papel y traten de violarlos. Aunque son muy buenos y describen la geometría de un modo muy eficaz y riguroso presentan el problema de que el infinito queda muy alejado de toda posibilidad de descripción a partir de los mismos. Así pues, en geometría euclídea no nos queda otra que concebir al infinito como aquello que no se puede abastar. Aquello a lo que por mucho que nos movamos o por mucho que contemos no alcanzaremos jamás. Allí dónde ocurre todo lo que nunca puede ocurrir. Esta frase, aunque es una contradicción en sí misma por tratarse de un abuso de lenguaje, nos permite deducir que si las paralelas no se cruzan jamás y en el infinito sucede todo aquello que nunca sucede, entonces las rectas paralelas se cruzan en el infinito. Y éste, y sólo éste, es el razonamiento que se sigue en colegios e instituos poder para decir que así lo hacen.

Pero, si avanzamos en el tiempo y nos situamos en el Siglo XIX, tenemos al amigo Gauss (y a otros tipos menos molones) construyendo una nueva geometría a partir de las dudas planteadas unos años atrás por Kant con respecto a los postulados de Euclides y su geometría (temerario bocazas, por otra parte). Si prescindimos del quinto postulado de Euclides, podemos usar los otros cuatro para construir un sistema geométrico que obre como sigue:

Trazamos una línea horizontal que denominaremos la recta del infinito. Esta recta define dos semiplanos, uno de ellos es nada de nada; al otro lo llamaremos el semiplano hiperbólico y en él es dónde sucederán las cosas.

En el semiplano hiperbólico vamos a colocar pares de puntos como toda la vida, y siguiendo el primer postulado de Euclides, desde cada punto trazaremos una recta a cualquier otro punto, pero fíjense en cómo lo hemos hecho:

Efectivamente, r y s son rectas, definidas por los puntos a y b, y p y q respectivamente. Las rectas hiperbólicas son, en el sentido euclídeo, semicircunferencias cuyo radio está contenido en la recta del infinito y rectas perpendiculares a la recta del infinito. A esta geometría, la cual funciona con estas clases de rectas, la llamamos la Geometría Hiperbólica. Además, estas dos rectas son paralelas puesto que nunca se cruzan. Ahora bien, supongamos las rectas como en la siguiente figura:

Notemos que el punto a es exterior a la recta r. Sin embargo por él pasan dos rectas paralelas a la recta r. Por ello, en la geometría hiperbólica debe sustituirse el quinto postulado de Euclides por el siguiente:

Dada una recta y un punto exterior a la misma existe almenos una recta que pasa por el punto y es paralela a la primera.

Y fijémonos que este postulado sigue sirviendo para la Geometría Euclídea, puesto que "almenos una" incluye también "una sola".

Por último, fijarse que podríamos colocar un punto sobre la recta del infinito y en él hacer coincidir varias rectas:

¿Son las rectas r y t paralelas? La respuesta es que sí, puesto que son rectas que no se cruzan en ninguna parte del semiplano hiperbólico, sin embargo, se cruzan en el infinito. Además, las rectas r y s no se cruzan ni en el semiplano ni en la recta del infinito, ¿son, pues, paralelas? La respuesta es que son más que eso: a las rectas que no se cruzan ni siquiera en el infinito las llamamos rectas ultraparalelas (realmente, a las anteriores las llamamos hiperparalelas). En la Geometría Euclídea no existen rectas ultraparalelas, y por ello, llamamos a las que son hiperparalelas sencillamente paralelas. En la próxima entrada mostraremos por qué no existen las ultraparalelas en la Geometría Euclídea. Lo haremos a través de la Geometría Proyectiva y veremos que, efectivamente, y de verdad, las rectas paralelas se cruzan en el infinito.

Feliz día, y recuerden que, aunque parezca que los raíles de la via del tren se juntan a lo lejos, no traten de llegar a ese punto, puesto que el infinito, a pesar de la Geometría Hiperbólica, sigue estando fuera de nuestro alcance.

Saludos cordiales.

Mitología matemática

Hola de nuevo, amigos mitopeces:

Como algunos de ustedes ya sabrán, servidor se dedica al campo de las matemáticas, que no es el campo de los números, como algunos podrían pensar. Había pensado en realizar una serie de artículos sobre cómo las matemáticas se acercan a cualquier faceta de la vida de un modo, a menudo, sorprendentemente eficaz. Antes de nada, realizaremos algunas explicaciones a modo de introducción, que trataré de hacer lo más accesibles que pueda para el común de los mortales.

Lo primero que uno debe tener claro cuando lea o interprete alguna clase de texto que haga uso de las matemáticas de un modo u otro, es que el objetivo de las matemáticas no es hallar la solución numérica de un problema dado. Entiéndanme: lo es en última instancia, pero siempre a través de otras disciplinas (física, química, biología, astronomía, economía, etc.) que precisamente hacen uso de las matemáticas para su desarrollo. El objetivo de las matemáticas es modelizar. Ésto es, hallar un modo de describir en un lenguaje universal que todos entendemos por acuerdo un fenómeno o ley natural del Universo. Esto se realiza a través de las distintas ramas de las matemáticas con la particularidad de que éstas se basan, simple y llanamente, en la lógica formal de sentencias. Esto conellva la ventaja de que si algo es verdad matemática, entonces es "verdad de la buena". En contrapartida, requiere una rigurosidad y una exactitud en el lenguaje a la hora de transmitir las ideas y los conceptos que en ocasiones pueden llegar a ser extremadamente tediosas, incluso para los apasionados, entre los que me incluyo. Podemos decir, pues, que las matemáticas son relaciones lógicas entre símbolos. O, más cercanamente, un lenguaje. Volviendo al tema del propósito de modelizar que tienen las matemáticas, es preciso explicar qué es un modelo matemático. Un modelo viene a ser una serie de definiciones, proposiciones, teoremas y toda clase de relaciones que se enuncian en abstracto y que, más tarde (y cuando digo más tarde, quiero decir mucho más tarde), se traducen en hechos apreciables de la cotidianidad. A menudo, el proceso ha sido inverso, y el hecho de precisar de un modelo de algo que conocemos de la vida real a dado pie a una abstracción mucho más amplia y general, de la cual la idea inicial resulta ser un caso particular. Vamos a poner un ejemplo, que nos servirá para ilustrar ambos casos:

Todo el mundo entiende más o menos que vivimos en una clase de mundo tridimensional con sus ángulos rectos, sus segmentos y sus distancias métricas bien sencillas de entender y manejar. Resulta pues que ese universo tridimensional no es más que un caso particular de lo que en matemáticas llamamos espacio afín. Un espacio afín es un conjunto formado por puntos que delimitan vectores. Los espacios afines tienen dimensión, que puede ser finita o infinita. Una dimensión, para entendernos, es un "sentido de medida". Nuestro mundo tiene tres porqué medimos anchura, altura y profundidad. Y poca cosa más puede uno decir de un espacio afín más allá de que los puntos definen rectas y planos que tienen posiciones relativas entre ellos (paralelismo o no paralelismo). Cuando en un espacio afín definimos una distancia, entonces el espacio afín es, además, un espacio métrico. En nuestro mundo, la distancia definida es la distancia métrica, que coincide con la norma (palabro que nosotros entenderemos por "tamaño") de los vectores que representan los segmentos que medimos con nuestras reglas y otros instrumentos de medición. Sin embargo, pueden definirse toda clase de distancias distintas siempre y cuando cumplan una serie de requisitos. Finalmente, una distancia va asociada a lo que llamamos un producto escalar, que es lo que da sentido a los ángulos y nos permite hablar de perpendicularidad. Un espacio afín con un producto escalar y un métrica (modo en el que se miden las cosas) se llama un espacio afín euclídeo. En nuestro mundo real, las rectas que forman un ángulo de 90 grados decimos que son perpendiculares; pero del mismo modo en que ocurría con las distancias, podemos definir una cantidad ilimitada de productos escalares distintos en los que la perpendicularidad no sería como la conocemos, siempre y cuando, una vez más, cumplieran una serie de requisitos.

Así pues, de la multitud de conjuntos que se pueden definir en abstracto, el universo real es (mientras no se diga lo contrario) un caso particularmente óptimo: un espacio afín euclídeo de tres dimensiones en el que el producto escalar es trivial (es decir, no requiere de ningún cálculo extra como sería lo habitual) y las distancias son lineales (se pueden sumar y multiplicar por unidades sin más dolores de cabeza).

Éste era un ejemplo clásico de modelo matemático de algo. En este caso, la necesidad práctica ha dado paso a la teoría abstracta, pero en la actualidad existen multitud de modelos abstractos de los cuales aún no se ha hallado (y quizás no se halle jamás) una interpretación en el universo real.

Mi propósito en las subisguientes entradas de este blog es tratar de usar otras clases de conjuntos para mostrar que, incluso lo más inusitadamente alejado de las ciencias o las matemáticas, se puede explicar en términos similares a los anteriores. Para eso echaremos mano del maravilloso mundo de la topología, recientemente descubierto por un servidor y que, personalmente, me merece el calificativo de "las matemáticas de verdad". Topología significa "estudio de los lugares", pero en un modo en el que la palabra "lugar" nunca había tenido tantas acepciones. La topología es la herramienta matemática que de verdad nos permite crear nuestra mitología. Estén atentos a las próximas fechas.

Un cordial saludo a todos.

Vida en otros planetas

Hola de nuevo, amigos mitopeces:

Debido a las presiones populares y políticas -ha aparecido un vídeo por ahí en el que se me ve exigiendo a otros bloggistas que actualicen sus publicaciones- vuelvo a la carga con un nuevo artículo que pone en tela de juicio nuestros puntos de vista aceptados para intentar limar las cantidad ingente de prejuicios tanto sociales como científicos que nos ahoga.

Llevo toda la tarde inmerso en la Wikipedia a colación del artículo que hay en su portada sobre vida extraterrestre y habitabilidad en otros planetas y de los múltiples enlaces que desde ahí he ido visitando hasta topar con temas como la Paradoja de Fermi o la Ecuación de Drake. En todos los casos, no deja de asombrarme la falta de imaginación que tienen muchos científicos para tratar este tema, en tanto en cuanto usan un criterio que yo calificaría de geocentrista para establecer patrones de búsqueda.

Así pues, dejen que les recite un pequeño relato y después saquen sus conclusiones:

Estamos en el centro de estudios astrofísicos de la Universidad de Mordox en dónde el equipo de científicos liderados por el Doctor Ullpe se dispone a ofrecer una rueda de prensa sobre el descubrimiento del primer planeta fuera de los límites de nuestro sistema estelar:

Queridos amigos, les hemos reunido aquí para resumirles en términos accesibles a la opinión pública los pormenores de nuestro hallazgo. Se trata del descubrimiento de un planeta en la órbita de la estrella DST-1508, situada a unos 20 años luz de aquí y que forma parte de la constelación del Claspastro. Se trata de un planeta rocoso, de un tamaño relativamente pequeño con un periodo orbital de unos 365 días. El descubrimiento se ha realizado a través de los cambios de brillo observados en la estralla madre así como en oscilación a lo largo del tiempo en torno de la trayectoria curvilinia que sería de esperar en el movimiento estelar común dentro de la galaxia. El punto más importante del descubrimiento es la total imposibilidad de la existencia de vida en ese planeta, por una serie de causas que vamos a relatar:

La estrella madre tiene un diámetro aproximado de 31 millones de kilómetros, lo que la hace demasiado pequeña para mantener un ritmo en sus reacciones de fusión que produzcan la irradación de energía necesaria para llevar a cabo las reacciones químicas necesarias para el desarrollo de vida. Asímismo, su brillo es 50 veces inferior al de nuestra estrella, lo que indica que la zona en la que las temperaturas son óptimas para la vida se encuentran fuera del alcance de la órbita del planeta.

En segundo lugar, la distancia con la estrella, junto el periodo de traslación alrededor de la misma hacen que el planeta rote sobre sí mismo a distinta velocidad de como lo hace en torno a la estrella, haciendo que nunca haya una cara del planeta orientada a la estrella de modo permanente. Esto implica que las supuestas formas de vida deberían viajar alrededor del planeta de manera contínua para no congelarse cuando su parte del planeta no recibe la luz del sol.

Pero la característica definitiva es la ausencia casi total de mercurio, que como todos saben es el solvente universal. De ese modo, las importantes reacciones de síntesis necesarias para la creación de cadenas moleculares que sirvan de bloques de construcción de materia orgánica son imposibles. Además, de existir vida en este planeta, sus habitantes deberían respirar el tóxico oxígeno. Por último, su gravedad es ciertamente ínfima, y de haber algun ser sobre su superfície, este debería ser anormalmente alto, lo cual dificultaría mucho su sustentación y equilibrio sobre el suelo.

Seguiremos informando sobre posteriores descubrimientos.

Que pasen una feliz noche, amigos.